[#40楼] 第40章 竞赛集训第一课，再次降维打击

周六上午,京市一中数学竞赛集训教室。

阎正站在讲台上,目光扫过下方十几个学生。

“今天是集训第一课。”

他停顿半晌，语气凉了几度。

“我不管你们是怎么进来的，在这里，只有实力说话。”

显然，某些人把关系户塞进集训队的事儿，让他很不爽。

教室里安静下来。

陆安安坐在第二排,手指轻轻着笔杆。

【终于进来了。】

【接下来,就等陆昭昭出丑。】

她侧头看向最后一排。

陆昭昭坐在角落,面前摊开一本《数论导引》,目光平静地扫过书页。

阎正转身在黑板上写下一道题:

“设p为大于3的质数,证明:p2-1能被24整除。”

教室里响起笔尖划过纸张的声音。

陆安安盯着题目,脑海中快速搜索记忆。

【这道题我见过。】

【上一世省赛真题,用费马小定理和同余性质。】

她深吸一口气,开始在草稿纸上推导。

十分钟后。

阎正放下粉笔。

“谁做出来了?”

陆安安举起手。

阎正眉毛微挑。

“陆安安,你上来讲。”

陆安安站起身，走到讲台前，拿起粉笔。

“因为p是大于3的质数，所以p不能被2和3整除。”

她在黑板上写下第一行。

“p是奇数，考察p模8的情况：p≡1,3,5,7(mod 8)。”

她继续推导。

“计算可得p2≡1(mod 8)。同理p2≡1(mod 3)。”

“由于gcd(8,3)=1，根据中国剩余定理，p2≡1(mod 24)。”

“因此p2-1能被24整除。”

阎正点点头。

“思路正确，但表述可以更严谨。”

陆安安脸上浮现出笑容,转身走回座位。

【陆昭昭还在看书。】

【她肯定做不出来。】

阎正看向最后一排。

“昭昭,你做出来了吗?”

陆昭昭合上书,抬起头。

“做出来了。”

阎正点点头。

“你也上来讲讲。”

陆昭昭站起身,走到讲台前。

“我想到了三种思路。”

教室里安静下来。

陆安安手指一紧。

【三种？】

陆昭昭拿起粉笔,在黑板上写下第一行。

“第一种,因式分解。p2-1=(p-1)(p+1)。”

她的笔尖快速移动。

“p是大于3的质数,则p-1和p+1是两个连续偶数,其中必有一个被4整除,另一个被2整除,所以(p-1)(p+1)能被8整除。”

她顿了顿。

“又因为p不能被3整除,所以p≡1或2(mod 3),则p-1或p+1能被3整除。”

“综上,p2-1能被24整除。”

阎正点点头。“继续。”

陆昭昭擦掉第一种方法,写下第二行。

“第二种,同余类讨论。p＞3,则p≡1或5(mod 6)。”

她的推导速度更快了。

“当p≡1(mod 6)时,p2≡1(mod 24)。”

“当p≡5(mod 6)时,p2≡25≡1(mod 24)。”

“所以p2-1≡0(mod 24)。”

教室里响起倒吸冷气的声音。

陆安安的手指攥的生疼。

【她怎么可能想的这么快?】

阎正看向陆昭昭。

“第三种呢?”

陆昭昭放下粉笔,拿起另一支不同颜色的粉笔。

“第三种,首接验证。”

她转身面对黑板。

“质数p＞3,则p=6k±1的形式。”

“当p=6k+1时,p2-1=(6k+1)2-1=36k2+12k=12k(3k+1)。”

“3k与3k+1中必有一个为偶数,所以12k(3k+1)能被24整除。”

“当p=6k-1时,同理可证。”

教室里鸦雀无声。

陆昭昭转身走回座位。

陆安安的脸色惨白。

【不可能。】

【她怎么能想到这么多方法?】

阎正看着黑板上三种解法,眼中闪过赞赏。

“三种方法各有特点。第一种首观,第二种系统,第三种严密。”

他转身在黑板上写下第二道题。

“下一题:证明存在无穷多个形如4k+1的质数。”

教室里安静下来。

陆安安盯着题目,脑海中一片空白。

【这道题……】

【我没见过。】

她侧头看向陆昭昭。

陆昭昭己经在草稿纸上写下第一行。

十五分钟后。

阎正放下粉笔。

“这道题有一定难度,你们能做到哪一步,就做到哪一步。”

教室里只有沙沙的写字声。

又过了十分钟。

阎正看向全班。

“谁有思路?”

阎正首接看向最后一排。

“陆昭昭?”

陆昭昭放下笔。

“我写了一个证明,但用到了一个结论,不确定是否超出竞赛范围。”

阎正点点头。

“你先讲讲思路。”

陆昭昭走到讲台前,拿起粉笔。

“我用反证法。假设形如4k+1的质数只有有限个,设为p?,p?,…,p?。”

她的字迹工整。

“构造数N=(2p?p?…p?)2+1”

“注意到N≡1(mod 4),所以N是4k+1型的。”

她继续写道:

“N＞1,必有质因子。设q是N的任一质因子。”

“如果q=2,则2|(2p?p?…p?)2+1,但(2p?p?…p?)2是偶数,加1是奇数,矛盾。”

“所以q是奇质数。”

“如果q是4k+3型的,那么N的所有质因子都是4k+3型,则N也是4k+3型,与N≡1(mod 4)矛盾。”

“所以q必是4k+1型的质数。”

她停顿了一下。

“但q不在{p?,p?,…,p?}中,因为N除以任何p?都余1。”

“这与假设矛盾。所以形如4k+1的质数有无穷多个。”

陆昭昭放下粉笔。

“但这个证明用到了'4k+3型质数的乘积还是4k+3型'这个性质,需要单独证明。”

阎正点点头。

“这个证明思路是对的。你提到的那个性质确实需要证明,不过很简单:(4a+3)(4b+3)=16ab+12a+12b+9=4(4ab+3a+3b+2)+1,所以两个4k+3型数的乘积是4k+1型。这说明如果N的所有质因子都是4k+3型,N就不可能是4k+1型。”

他转身面向全班。

“陆昭昭的证明用到了数论中的构造法和反证法,思路很清晰。这类证明在竞赛中经常出现,大家要好好体会。”

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